欧几里得：求a,b的最大公约数。

int gcd(int a,int b){
    if(b==0)return a;
    return gcd(b,a%b);
}

扩展欧几里得：（求a,b的最大公约数和不定方程ax+by=d(=gcd(a,b))的一对解）
裴蜀定理
对于任意整数 a , b，存在无穷多组整数对 (x,y) 满足不定方程 ax+by=d ，其中 d=gcd(a,b)。
在求 d=gcd(a,b)的同时，可以求出关于x,y的不定方程ax+by=d的一组整数解。
考虑递归计算：假设已经算出了(b,a \bmod b)的一对解(x_0,y_0)满足bx_0+(a \bmod b)y_0=d。
可以得到bx_0+(a – b \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor)y_0=d。
整理可得b(x_0-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y_0) +ay_0=d。
即ay_0+b(x_0-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y_0)=d。
即x=y_0,y=x_0-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y_0。
假设先行swap(x_0,y_0)，则有x=x_0,y=y_0-\left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor x_0。

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(b==0){
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}

乘法逆元：
方法1：利用扩展欧几里得求逆元，参见：https://renjikai.com/luogu-p1082/
适用条件：被求数a和模数b互质。
方法2：利用费马小定理（快速幂）求逆元，参见：https://renjikai.com/luogu-p1313/
适用条件：模数为质数。（保证了被求数a和模数b互质。）
方法3：不用记复杂的线性递推公式，就可以用O(N)复杂度推出1到n的所有乘法逆元（模意义下，在后面不再赘述）。除此之外，在此过程中求出1!到n!的阶乘及其逆元。
前提结论：易知\prod_{i=1}^{n}\ inv(i)=inv(n!)。
乘法逆元定义：inv(i)\cdot i\equiv 1
令数组A_i=i!，容易求出数组A。令数组B_i=inv(i!)，那么数组B应该怎么求呢？
用方法1、2容易求出inv(A_n)，即inv(n!)，即求出了B_n。
由前提结论知，B数组的递推公式为B_i=B_{i-1} \cdot inv(i)，两边同乘i，则有B_i \cdot i =B_{i-1} \cdot inv(i)\cdot i，由乘法逆元定义有B_{i-1} = B_i \cdot i，只需回推，即可求出由i!的乘法逆元。
因B_n=\prod_{i=1}^{n} inv(i)=inv(n)\cdot inv(n-1) \cdot inv(n-2) … \cdot inv(1)，A_{n-1}=(n-1)!=(n-1)\cdot(n-2)…\cdot(1)，因此两式相乘则有inv(n)=B_{n\cdot A}{n-1}，即求出了1到n的所有乘法逆元，是线性复杂度O(N)，可能常数大一点，但是好记啊。
C++伪代码如下：（不一定完全正确，请注意识别）

#define MOD
#define ll long long

ll quickpow(ll a, ll b);
ll fInv(ll x) {
    return quickpow(x, MOD - 2) % MOD;
}
ll n;
ll fact[n + 2];
ll invFact[n + 2];
ll inv[n + 2];
void gen() {
    fact[1] = 1;
    for (ll i = 2; i <= n; i++) {
        fact[i] = (fact[i - 1] * i) % MOD;
    }
    invFact[n] = fInv(fact[n]);
    for (ll i = n - 1; i >= 1; i--) {
        invFact[i] = invFact[i + 1] * (i + 1) % MOD;
    }
    inv[1] = 1;
    for (ll i = 2; i <= n; i++) {
        inv[i] = invFact[i] * fact[i - 1] % MOD;
    }
}